Question

18．已知函数的图象C′与C：y=$\frac{ax+{a}^{2}+1}{x+a+1}$关于直线y=x对称，且图象C′关于点（2，-3）对称，则实数a的值为（　　）

• A． -3
• B． 3
• C． -2
• D． 2

Answer 1

分析 因为图象本身关于直线y=x对称故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数再与原函数比较可得答案．

解答 解：y=$\frac{ax+{a}^{2}+1}{x+a+1}$
则y（x+a+1）=ax+a²+1，得：x=$\frac{{a}^{2}+1-ay-y}{y-a}$，
所以原函数的反函数为：y=$\frac{{a}^{2}+1-ax-x}{x-a}$=$\frac{-a+1}{x-a}$-a-1，
所以该函数图象关于（a，-a-1）中心对称，
又其关于（2，-3）对称，
所以a=2．
故选D．

点评 本题主要考查反函数，反函数是函数知识中重要的一部分内容．对函数的反函数的研究，我们应从函数的角度去理解反函数的概念，从中发现反函数的本质，并能顺利地应用函数与其反函数间的关系去解决相关问题．