Question

已知数列{a_n}的前n项的和为S_n，且S_n=2n+7-2a_n．
（1）求证：{a_n-2}为等比数列；
（2）是否存在实数k，使得a_n≤n³+kn²+9n对于任意的n∈N^*都成立，若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由n=1，解得a₁=3．由n≥2，得3a_n=2a_n-1+2，故an-2=

2

3

(an-1 -2)，由此能够证明{a_n-2}是首项为1，公比为

2

3

的等比数列．
（2）由an-2=( 

2

3

)n-1，知an=2+(

2

3

)n-1，由2+（

2

3

）^n-1≤n³+kn²+9n，得k≥

2

n2

+

( 2 3 )n-1

n2

-(n+

9

n

)．故只需求出P(n)=

2

n2

+

( 2 3 ) n-1

n2

-(n+

9

n

)的最大值即可得到k范围．

解答：解：（1）n=1时，a₁=S₁=2+7-2a₁，解得a₁=3．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2-2a_n+2a_n-1，
即3a_n=2a_n-1+2，
∴an-2=

2

3

(an-1 -2)，
∴{a_n-2}是首项为1，公比为

2

3

的等比数列．
（2）由（1）知an-2=( 

2

3

)n-1，
∴an=2+(

2

3

)n-1，
由2+（

2

3

）^n-1≤n³+kn²+9n，
得k≥

2

n2

+

( 2 3 )n-1

n2

-(n+

9

n

)．
∴只需求出P(n)=

2

n2

+

( 2 3 ) n-1

n2

-(n+

9

n

)的最大值即可．
设f(n)=

2

n2

，g(n)= 

( 2 3 )n-1

n2

，h(n)=-(n+

9

n

)，
∵n∈N^*，∴f（n）单调递减．
∵

g(n)

g(n+1)

=

(  2 3 )n-1

n2

÷

( 2 3 )n

(n+1)2

=

3

2

(

n+1

n

)2＞1，
∴g（n）＜g（n+1），
故g（n）单调递减．
h(n)-h(n+1)=(n+1+

9

n+1

) -(n+

9

n

)=

n2+n-9

n(n+1)

，
当n≥3时，h（n）＞h（n+1），
故n≥3时，h（n）单调递减．
∴n≥3时，P(n)=

2

n2

+

( 2 3 ) n-1

n2

-(n+

9

n

)随着n的增大而减小，
∵p（1）=-7，p(2)=-

35

6

，p(3)=- 

464

81

，
∴p（n）的最大值为p（3）=-

464

81

．
故k≥-

464

81

．

点评：本题考查等比数列的证明和数列与不等式的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点，易错点是判断最大值时因解题能力差导致失误．解题时要认真审题，仔细解答，注意提高解题能力．