【题目】设函数f(x)=ax+cosx,x∈[0,π].
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设f(x)≤1+sinx,求a的取值范围.
【答案】
(1)
解:求导函数,可得f'(x)=a﹣sinx,x∈[0,π],sinx∈[0,1];
当a≤0时,f'(x)≤0恒成立,f(x)单调递减;当a≥1 时,f'(x)≥0恒成立,f(x)单调递增;
当0<a<1时,由f'(x)=0得x1=arcsina,x2=π﹣arcsina
当x∈[0,x1]时,sinx<a,f'(x)>0,f(x)单调递增
当x∈[x1,x2]时,sinx>a,f'(x)<0,f(x)单调递减
当x∈[x2,π]时,sinx<a,f'(x)>0,f(x)单调递增;
(2)
解:由f(x)≤1+sinx得f(π)≤1,aπ﹣1≤1,∴a≤ .
令g(x)=sinx﹣ (0≤x
),则g′(x)=cosx﹣
当x 时,g′(x)>0,当
时,g′(x)<0
∵ ,∴g(x)≥0,即
(0≤x
),
当a≤ 时,有
①当0≤x 时,
,cosx≤1,所以f(x)≤1+sinx;
②当 时,
=1+
≤1+sinx
综上,a≤ .
【解析】(1)求导函数,可得f'(x)=a﹣sinx,x∈[0.π],sinx∈[0,1],对a进行分类讨论,即可确定函数的单调区间;(2)由f(x)≤1+sinx得f(π)≤1,aπ﹣1≤1,可得a≤ ,构造函数g(x)=sinx﹣
(0≤x
),可得g(x)≥0(0≤x
),再考虑:①0≤x
;②
,即可得到结论.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减;求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
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【题目】如图所示,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V=0).
(1)求V=0的概率;
(2)求V的分布列及数学期望E(V).
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【题目】将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
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【题目】设全集I={1,2,3,4,5,6},集合A,B都是I的子集,若AB={1,3,5},则称A,B为“理想配集”,记作(A,B),问这样的“理想配集”(A,B)共有( )
A. 7个 B. 8个 C. 27个 D. 28个
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【题目】近年来,雾霾日趋严重,雾霾的工作、生活受到了严重的影响,如何改善空气质量已成为当今的热点问题,某空气净化器制造厂,决定投入生产某型号的空气净化器,根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律,每生产该型号空气净化器(百台),其总成本为
(万元),其中固定成本为12万元,并且每生产1百台的生产成本为10万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入
(万元)满足
,假定该产品销售平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列问题:
(1)求利润函数的解析式(利润=销售收入-总成本);
(2)工厂生产多少百台产品时,可使利润最多?
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【题目】已知集合A={x|1<x<3},集合B={x|2m<x<1-m}.
(1)当m=-1时,求A∪B;
(2)若AB,求实数m的取值范围;
(3)若A∩B=,求实数m的取值范围.
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