Question

19．定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），f（xy）=f（x）f（y），且x≠y时，f（x）≠f（y）．
（1）判断f（x）奇偶性；
（2）求证：f（x）是单调递增函数．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，可得f（0）的值；令y=-x，可得f（x）与f（-x）的关系，知f（x）的奇偶性．
（2）根据函数单调性的定义进行证明即可得函数为单调增函数．

解答 解：（1）函数f（x）是定义域R上的奇函数，证明如下：
∵对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，则有f（0）=f（0）+f（0）；
∴f（0）=0；
令y=-x，则有f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是定义域R上的奇函数．
（2）令x=y=1，则f（1）=f²（1），
则f（1）=0或f（1）=1，
∵且x≠y时，f（x）≠f（y）．f（0）=0，
∴f（1）=0不成立，（舍），
则f（1）=1，
则当x=1，y=1时，f（1+1）=f（1）+f（1）=f（2），
即f（2）=2，
令y=x，由②得f（x²）=f（x）f（x）=f²（x）≥0，
即当x²＞0时，f（x²）＞0，
令y=x₂，x=-x₁，任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
则f（x）+f（y）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，
即当x＞0时，函数f（x）为增函数，
∵f（x）是奇函数，
∴f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．

点评 本题考查了抽象函数奇偶性的判定，主要利用赋值法来解题．综合性较强，有一定的难度．