Question

4．已知向量$\overrightarrow{OA}$=（4，-3），$\overrightarrow{OB}$=（5，-2），$\overrightarrow{OC}$=（m-5，3-2m），$\overrightarrow{OD}$=（$\sqrt{m-1}$，2m-8），且A、B、C三点共线，则∠COD=$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 根据向量的坐标运算，求出m的值，再求向量$\overrightarrow{OC}$与$\overrightarrow{OD}$的夹角即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{OA}$=（4，-3），$\overrightarrow{OB}$=（5，-2），$\overrightarrow{OC}$=（m-5，3-2m），
∴$\overrightarrow{AB}$=（5-4，-2+3）=（1，1），
$\overrightarrow{AC}$=（m-5-4，3-2m+3）=（m-9，6-2m）；
又A、B、C三点共线，
∴（m-9）-（6-2m）=0，
解得m=5；
∴$\overrightarrow{OC}$=（0，-7），$\overrightarrow{OD}$=（2，2）；
∴cos＜$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OD}$＞=$\frac{\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}}{|\overrightarrow{OC}|×|\overrightarrow{OD}|}$
=$\frac{0×2-7×2}{\sqrt{{0}^{2}{+（-7）}^{2}}×\sqrt{{2}^{2}{+2}^{2}}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠COD=$\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算以及应用问题，是基础题目．