Question

设a＝，b＝(4sinx，cosx－sinx)，f(x)＝a·b.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知常数ω＞0，若y＝f(ωx)在区间上是增函数，求ω的取值范围；
(3)设集合A＝，B＝{x||f(x)－m|＜2}，若AB，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）f(x)＝2sinx＋1（2）ω∈（3）m∈(1，4)

(1)f(x)＝sin²·4sinx＋(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＝4sinx·＋cos2x
＝2sinx(1＋sinx)＋1－2sin²x＝2sinx＋1，所以所求解析式为f(x)＝2sinx＋1.
(2)∵f(ωx)＝2sinωx＋1，ω＞0，由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，
得f(ωx)的增区间是，k∈Z.
∵f(ωx)在上是增函数，∴.
∴－≥－且≤，∴ω∈.
(3)由|f(x)－m|＜2，得－2＜f(x)－m＜2，即f(x)－2＜m＜f(x)＋2.
∵AB，∴当≤x≤时，
不等式f(x)－2＜m＜f(x)＋2恒成立．∴f(x)_max－2＜m＜f(x)_min＋2，
∵f(x)_max＝f＝3，f(x)_min＝f＝2，∴m∈(1，4)．