Question

已知

a

=(2sin

x

2

，

3

+1)

b

=(cos

x

2

-

3

sin

x

2

，1)f(x)=

a

•

b

+m
（1）求f（x）在[0，2π]上的单调区间
（2）当x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最小值为2，求f（x）≥2成立的x的取值集合．
（3）若存在实数a，b，C，使得a[f（x）-m]+b[f（x-C）-m]=1，对任意x∈R恒成立，求

b

a

cosC的值．

Answer 1

分析：（1）化简函数f（x）的解析式为2sin（x+

π

3

）+1+m 由x∈[0，2π]，可得

π

3

≤x+

π

3

≤2π+

π

3

．分

π

3

≤x+

π

3

≤

π

2

时、

π

2

≤x+

π

3

≤

3π

2

时、

3π

2

≤x+

π

3

≤2π+

π

3

时三种情况，分别求得函数的单调区间．
（2）根据x∈[0，

π

2

]，求得sin(x+

π

3

)min=

1

2

，可得f（x）_min=2+m=2，由此求得m的值．再由f（x）≥2，可得2sin(x+

π

3

)+1≥2sin(x+

π

3

)≥

1

2

，2kπ+

π

6

≤x+

π

3

≤2kπ+

5π

6

，由此求得x的集合．
（3）由题意可得对任意x∈R，(2a+2bcosc)sin(x+

π

3

)-2bsinccos(x+

π

3

)+b+a-1=0 恒成立，故有（2a+2bcosC）=0，且2bsinC=0，且b+a-1=0．由此求得

b

a

cosC的值．

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

+m=2sin

x

2

cos

x

2

-2

3

sin2

x

2

+

3

+1+m=sinx+

3

cosx+1+m=2sin（x+

π

3

）+1+m
由x∈[0，2π]，可得

π

3

≤x+

π

3

≤2π+

π

3

．
当

π

3

≤x+

π

3

≤

π

2

时，可得函数f（x）在 [0，

π

6

]上递增，当

π

2

≤x+

π

3

≤

3π

2

时，可得函数f（x）在[

π

6

，

7π

6

]上 递减．
当

3π

2

≤x+

π

3

≤2π+

π

3

时，可得函数在[

7π

6

，2π]上递增．------------（2分）
（2）由于x∈[0，

π

2

]，x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，故sin(x+

π

3

)min=

1

2

，所以f（x）_min=2+m=2    所以 m=0．--------（1分）
所以，f(x)=2sin(x+

π

3

)+1，由f（x）≥2，可得2sin(x+

π

3

)+1≥2sin(x+

π

3

)≥

1

2

，2kπ+

π

6

≤x+

π

3

≤2kπ+

5π

6

，
所以{x|2kπ-

π

6

≤x≤2kπ+

π

2

 k∈z}．--------（3分）
（3）∵a[f(x)-m]+b[f(x-C)-m]=a[2sin(x+

π

3

)+1]+b[2sin(x+

π

3

-C)+1] 
=2asin(x+

π

3

)+a+2bsin(x+

π

3

)cosC-2bsinCcos(x+

π

3

)+b，
对任意x∈R，(2a+2bcosc)sin(x+

π

3

)-2bsinccos(x+

π

3

)+b+a-1=0 恒成立，
故有（2a+2bcosC）=0，且2bsinC=0，且b+a-1=0．
经讨论只能有 sinC=0，cosC=-1，a=b=

1

2

，所以，

b

a

cosC=-1．--------（4分）

点评：本题主要考查复合三角函数的单调性，两个向量的数量积的运算，函数的恒成立问题，属于中档题．