Question

【题目】如图，在长方体中，，为的中点，为的中点，为线段上一点，且满足，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积；

（3）求直线与直线所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（3）

【解析】

（1）利用三角形的中位线和梯形的中位线的性质得到线线平行，利用面面平行的判定定理证得平面平面，利用面面平行的性质得到平面；

（2）将三棱锥的顶点和底面转换，之后利用椎体体积公式求得结果；

（3）利用异面直线所成角的定义，得到（或其补角）是目标，之后应用余弦定理求得结果.

（1）作的中点，连接，.

又为的中点，

∴为的中位线，.

又为的中点，

∴为梯形的中位线，∴.

在平面中，，

在平面中，，

∴平面平面，

又平面，∴平面.

（2）

.

故所求三棱锥的体积为.

（3）连接，，因为在长方体中，，

且，又点在直线上，

所以直线与直线所成角即为与所成的角，

即是（或其补角）.

在中，，，.

由余弦定理得，

故所求直线与直线所成角的余弦值为.