Question

4．设函数f（x）=（$\frac{π}{5}$）${\;}^{{x}^{2}-ax}$．
（1）若函数f（x）为偶函数，求实数a的值；
（2）当a=6时，求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）若函数f（x）为偶函数，建立方程关系即可求实数a的值；
（2）当a=6时，利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系即可函数f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）若函数f（x）为偶函数，
则f（-x）=f（x），
即（$\frac{π}{5}$）${\;}^{{x}^{2}+ax}$=（$\frac{π}{5}$）${\;}^{{x}^{2}-ax}$．
即x²+ax=x²-ax，
即-a=a，解得a=0；
（2）当a=6时，f（x）=（$\frac{π}{5}$）${\;}^{{x}^{2}-ax}$=（$\frac{π}{5}$）${\;}^{{x}^{2}-6x}$．
设t=x²-6x，则t=（x-3）²-9，
对称轴为x=3，
则y=（$\frac{π}{5}$）^t为减函数，
要求函数f（x）的单调递增区间，
即求函数t=（x-3）²-9的单调递减区间，
∵当x≤3时，函数t=x²-6x为减函数，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，3]．

点评 本题主要考查函数单调性的求解，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．