Question

【题目】在如图所示的圆柱中，AB为圆的直径，是的两个三等分点，EA，FC，GB都是圆柱的母线．

（1）求证：平面ADE；

（2）设BC=1，已知直线AF与平面ACB所成的角为30°，求二面角A—FB—C的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）.

【解析】

（1）由，另易证得，即可证得面面，由面面平行，从而证得线面平行，即面.

（2）连接，易证面，可过作交于，连接，则即为二面角A—FB—C的平面角，求出其余弦值即得.

解：（1）连接，因为C，D是半圆的两个三等分点，

所以，

又，

所以均为等边三角形.

所以，

所以四边形是平行四边形，所以，

又因为平面ADE，平面ADE，所以平面ADE.

因为EA，FC都是圆柱的母线，所以EA//FC.

又因为平面ADE，平面ADE，

所以平面ADE. 又平面，

所以平面平面ADE，又平面，所以平面ADE.

（2）连接AC，因为FC是圆柱的母线，所以圆柱的底面，

所以即为直线AF与平面ACB所成的角，即

因为AB为圆的直径，所以，

在，

所以，所以在

因为，又因为，所以平面FBC，

又平面FBC，所以.

在内，作于点H，连接AH.

因为平面ACH，所以平面ACH，

又平面ACH，所以，

所以就是二面角的平面角.

在，在，

所以，所以，

所以二面角的余弦值为.