【题目】设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),已知g(x)=f(x)﹣f′(x)是奇函数.
(Ⅰ)求b,c的值.
(Ⅱ)求g(x)的单调区间与极值.
【答案】解:(Ⅰ)∵f(x)=x3+bx2+cx,∴f'(x)=3x2+2bx+c.
从而g(x)=f(x)﹣f'(x)=x3+bx2+cx﹣(3x2+2bx+c)=x3+(b﹣3)x2+(c﹣2b)x﹣c
是一个奇函数,所以g(0)=0得c=0,由奇函数定义得b=3;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知g(x)=x3﹣6x,从而g'(x)=3x2﹣6,
当g'(x)>0时,x<﹣或x>
,
当g'(x)<0时,﹣<x<
,
由此可知和
是函数g(x的单调递增区间;(-
,
)是函数g(x)的单调递减区间;
g(x)在x=-时取得极大值,极大值为4
,g(x)在x=
时取得极小值,极小值为-4
.
【解析】(1)根据g(x)=f(x)﹣f'(x)是奇函数,且f'(x)=3x2+2bx+c能够求出b与c的值.
(2)对g(x)进行求导,g'(x)>0时的x的取值区间为单调递增区间,g'(x)<0时的x的取值区间为单调递减区间.g'(x)=0时的x函数g(x)取到极值.
【考点精析】认真审题,首先需要了解函数奇偶性的性质(在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;奇函数的加减仍为奇函数;奇数个奇函数的乘除认为奇函数;偶数个奇函数的乘除为偶函数;一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇).
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【题目】共享单车进驻城市,绿色出行引领时尚,某市有统计数据显示,2016年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示,一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示,若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”(20岁~39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类,将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”,使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”,已知在“经常使用单车用户”中有 是“年轻人”.
(Ⅰ)现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查,采用随机抽样的方法,抽取一个容量为200的样本,请你根据图表中的数据,补全下列2×2列联表,并根据列联表的独立性检验,判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关?
使用共享单车情况与年龄列联表
年轻人 | 非年轻人 | 合计 | |
经常使用共享单车用户 | 120 | ||
不常使用共享单车用户 | 80 | ||
合计 | 160 | 40 | 200 |
(Ⅱ)将频率视为概率,若从该市市民中随机任取3人,设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量X,求X的分布列与期望.
(参考数据:
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
其中,K2= ,n=a+b+c+d)
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【题目】已知函数f(x)=mln(x+1)﹣nx在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直,且 ,其中 m,n∈R.
(Ⅰ)求m,n的值,并求出f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设g(x)=﹣x2+2x,确定非负实数a的取值范围,使不等式f(x)+x≥ag(x)在[0,+∞)上恒成立.
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【题目】已知函数f(x)=xex+ax2+2x+1在x=﹣1处取得极值.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数y=f(x)﹣m﹣1在[﹣2,2]上恰有两个不同的零点,求实数m的取值范围.
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【题目】某网络营销部门为了统计某市网友2015年11月11日在某网店的网购情况,随机抽查了该市100名网友的网购金额情况,得到如图频率分布直方图.
(1)估计直方图中网购金额的中位数;
(2)若规定网购金额超过15千元的顾客定义为“网购达人”,网购金额不超过15千元的顾客定义为“非网购达人”;若以该网店的频率估计全市“非网购达人”和“网购达人”的概率,从全市任意选取3人,则3人中“非网购达人”与“网购达人”的人数之差的绝对值为X,求X的分布列与数学期望.
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【题目】在直角坐标系xOy 中,F,A,B 分别为椭圆 的右焦点、右顶点和上顶点,若
(1)求a的值;
(2)过点P(0,2)作直线l 交椭圆于M,N 两点,过M 作平行于x 轴的直线交椭圆于另外一点Q,连接NQ ,求证:直线NQ 经过一个定点.
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