Question

【题目】设函数f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数．
（Ⅰ）求b，c的值．
（Ⅱ）求g（x）的单调区间与极值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=x3+bx2+cx，∴f'（x）=3x2+2bx+c．
从而g（x）=f（x）﹣f'（x）=x3+bx2+cx﹣（3x2+2bx+c）=x3+（b﹣3）x2+（c﹣2b）x﹣c
是一个奇函数，所以g（0）=0得c=0，由奇函数定义得b=3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）=x3﹣6x，从而g'（x）=3x2﹣6，
当g'（x）＞0时，x＜﹣或x＞，
当g'（x）＜0时，﹣＜x＜，
由此可知和是函数g(x的单调递增区间；(-,)是函数g(x)的单调递减区间；
g（x）在x=-时取得极大值，极大值为4，g（x）在x=时取得极小值，极小值为-4．
【解析】（1）根据g（x）=f（x）﹣f'（x）是奇函数，且f'（x）=3x2+2bx+c能够求出b与c的值．
（2）对g（x）进行求导，g'（x）＞0时的x的取值区间为单调递增区间，g'（x）＜0时的x的取值区间为单调递减区间．g'（x）=0时的x函数g（x）取到极值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数奇偶性的性质(在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇)．