【题目】已知函数f(x)=mln(x+1)﹣nx在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直,且 ,其中 m,n∈R.
(Ⅰ)求m,n的值,并求出f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设g(x)=﹣x2+2x,确定非负实数a的取值范围,使不等式f(x)+x≥ag(x)在[0,+∞)上恒成立.
【答案】解:(Ⅰ)对f(x)求导,得 ,
若f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直,
则 ,又
,则
,
由 ,求得
,
所以f(x)=2ln(x+1)﹣x,定义域为(﹣1,+∞),
对f(x)求导,得 ,
由f'(x)>0,求得﹣1<x<1,即f(x)的单调递增区间为(﹣1,1);
由f'(x)<0,求得x>1,即f(x)的单调递减区间为(1,+∞).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,不等式f(x)+x≥ag(x)即是2ln(x+1)≥a(﹣x2+2x),
于是问题可转化为不等式2ln(x+1)﹣a(﹣x2+2x)≥0在[0,+∞)上恒成立时,确定非负实数a的取值范围,
记h(x)=2ln(x+1)﹣a(﹣x2+2x),则 ,
① 当a=0时,对 ,则h(x)在[0,+∞)上为增函数,
②当a>0时,令h'(x)=0,则ax2+1﹣a=0,当1﹣a≥0,
即0<a≤1时,对x≥0,h'(x)>0,则h(x)在[0,+∞)上为增函数,
所以h(x)=h(0)=0,此时命题成立;
当1﹣a<0,即a>1时,由ax2+1﹣a=0,
求得 .h(x),h'(x)的变化情况如表:
x | 0 | (0,x2) | x2 | (x2 , +∞) |
h'(x) | ﹣ | 0 | + | |
h(x) | ↘ | 极小值 | ↗ |
因为h(x)min=h(x2)<h(0)=0,
所以当x≥0时,命题不成立
【解析】(Ⅰ)求出函数的导数,得到关于m,n的方程组,求出m,n的值,从而求出f(x)的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(Ⅱ)问题可转化为不等式2ln(x+1)﹣a(﹣x2+2x)≥0在[0,+∞)上恒成立时,确定非负实数a的取值范围,记h(x)=2ln(x+1)﹣a(﹣x2+2x),根据函数的单调性求出a的范围即可.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减.
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【题目】已知等差数列{an}的通项公式为an=2n﹣1(n∈N*),且a2 , a5分别是等比数列{bn}的第二项和第三项,设数列{cn}满足cn= ,{cn}的前n项和为Sn
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)是否存在m∈N* , 使得Sm=2017,并说明理由
(3)求Sn .
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【题目】已知函数f(x)=lnx﹣x2与g(x)=(x﹣2)2﹣ ﹣m的图象上存在关于(1,0)对称的点,则实数m的取值范围是( )
A.(﹣∞,1﹣ln2)
B.(﹣∞,1﹣ln2]
C.(1﹣ln2,+∞)
D.[1﹣ln2,+∞)
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【题目】经市场调查,某商品每吨的价格为x(1<x<14)万元时,该商品的月供给量为y1吨,y1=ax+ a2﹣a(a>0):月需求量为y2吨,y2=﹣
x2﹣
x+1,当该商品的需求量大于供给量时,销售量等于供给量:当该商品的需求量不大于供给量时,销售量等于需求量,该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积.
(1)已知a= ,若某月该商品的价格为x=7,求商品在该月的销售额(精确到1元);
(2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格,若该商品的均衡价格不低于每吨6万元,求实数a的取值范围.
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【题目】以下四个命题: ①已知随机变量X~N(0,σ2),若P(|X|<2)=a,则P(X>2)的值为 ;
②设a、b∈R,则“log2a>log2b”是“2a﹣b>1”的充分不必要条件;
③函数f(x)= ﹣(
)x的零点个数为1;
④命题p:n∈N,3n≥n2+1,则¬p为n∈N,3n≤n2+1.
其中真命题的序号为 .
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【题目】设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),已知g(x)=f(x)﹣f′(x)是奇函数.
(Ⅰ)求b,c的值.
(Ⅱ)求g(x)的单调区间与极值.
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【题目】已知椭圆C1: +
=1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2 , 点F2也为抛物线C2:y2=8x的焦点,过点F2的直线l交抛物线C2于A,B两点.
(Ⅰ)若点P(8,0)满足|PA|=|PB|,求直线l的方程;
(Ⅱ)T为直线x=﹣3上任意一点,过点F1作TF1的垂线交椭圆C1于M,N两点,求 的最小值.
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