【题目】已知椭圆C1: +
=1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2 , 点F2也为抛物线C2:y2=8x的焦点,过点F2的直线l交抛物线C2于A,B两点.
(Ⅰ)若点P(8,0)满足|PA|=|PB|,求直线l的方程;
(Ⅱ)T为直线x=﹣3上任意一点,过点F1作TF1的垂线交椭圆C1于M,N两点,求 的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)由抛物线 得F2(2,0),
当直线l斜率不存在,即l:x=2时,满足题意.
当直线l斜率存在,设l:y=k(x﹣2)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由 得k2x2﹣(4k2+8)x+4k2=0,
∴ .
设AB的中点为G,则 ,
∵|PA|=|PB|,∴PG⊥l,kPGk=﹣1,
∴ ,解得
,则
,
∴直线l的方程为 或x=2.
(Ⅱ)∵F2(2,0),∴ ,
设T点的坐标为(﹣3,m),
则直线TF1的斜率 ,
当m≠0时,直线MN的斜率 ,直线MN的方程是x=my﹣2,
当m=0时,直线MN的方程是x=﹣2,也符合x=my﹣2的形式.
∴直线MN的方程是x=my﹣2.
设M(x3,y3),N(x4,y4),则 ,得(m2+3)y2﹣4my﹣2=0,
∴ ,
,
=
,
∴ ,
当且仅当 ,即m=±1时,等号成立,此时
取得最小值
.
【解析】(Ⅰ)由抛物线 得F2(2,0),当直线l斜率不存在,即l:x=2时,满足题意.当直线l斜率存在,设l:y=k(x﹣2)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),与抛物线方程联立可得k2x2﹣(4k2+8)x+4k2=0,利用根与系数的关系、中点坐标公式可得AB的中点
,由|PA|=|PB|,可得PG⊥l,kPGk=﹣1,解得k即可得出.(Ⅱ)F2(2,0),可得椭圆C1的方程,设T点的坐标为(﹣3,m),则直线TF1的斜率
=﹣m.当m≠0时,直线MN的斜率
,直线MN的方程是x=my﹣2,
当m=0时,上述方程.设M(x3,y3),N(x4,y4),与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系、两点之间的距离公式及其基本不等式的性质即可得出.
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【题目】已知函数f(x)=mln(x+1)﹣nx在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直,且 ,其中 m,n∈R.
(Ⅰ)求m,n的值,并求出f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设g(x)=﹣x2+2x,确定非负实数a的取值范围,使不等式f(x)+x≥ag(x)在[0,+∞)上恒成立.
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【题目】某网络营销部门为了统计某市网友2015年11月11日在某网店的网购情况,随机抽查了该市100名网友的网购金额情况,得到如图频率分布直方图.
(1)估计直方图中网购金额的中位数;
(2)若规定网购金额超过15千元的顾客定义为“网购达人”,网购金额不超过15千元的顾客定义为“非网购达人”;若以该网店的频率估计全市“非网购达人”和“网购达人”的概率,从全市任意选取3人,则3人中“非网购达人”与“网购达人”的人数之差的绝对值为X,求X的分布列与数学期望.
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【题目】已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为 为参数,θ为倾斜角),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,在极坐标系中,曲线的方程为ρ﹣ρcos2θ﹣4cosθ=0.
(1)写出曲线C的直角坐标方程;
(2)点Q(a,0),若直线l与曲线C交于A、B两点,求使 为定值的值.
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【题目】在直角坐标系xOy 中,F,A,B 分别为椭圆 的右焦点、右顶点和上顶点,若
(1)求a的值;
(2)过点P(0,2)作直线l 交椭圆于M,N 两点,过M 作平行于x 轴的直线交椭圆于另外一点Q,连接NQ ,求证:直线NQ 经过一个定点.
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【题目】规定:点P(x,y)按向量 平移后的点为Q(x+a,y+b).若函数
的图象按向量
=(j,k)且|j|
平移后的图象对应的函数是
+1.
(1)试求向量 的坐标;
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知f(2A)+2cos(B+C)=1, ①求角A的大小;
②若a=6,求b+c的取值范围.
另外:最后一小题也可用“余弦定理结合基本不等式”求解.
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