Question

【题目】已知椭圆C1： + =1（b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ， 点F2也为抛物线C2：y2=8x的焦点，过点F2的直线l交抛物线C2于A，B两点．
（Ⅰ）若点P（8，0）满足|PA|=|PB|，求直线l的方程；
（Ⅱ）T为直线x=﹣3上任意一点，过点F1作TF1的垂线交椭圆C1于M，N两点，求 的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由抛物线 得F2（2，0），

当直线l斜率不存在，即l：x=2时，满足题意．

当直线l斜率存在，设l：y=k（x﹣2）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

由 得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，

∴ ．

设AB的中点为G，则 ，

∵|PA|=|PB|，∴PG⊥l，kPGk=﹣1，

∴ ，解得 ，则 ，

∴直线l的方程为 或x=2．

（Ⅱ）∵F2（2，0），∴ ，

设T点的坐标为（﹣3，m），

则直线TF1的斜率 ，

当m≠0时，直线MN的斜率 ，直线MN的方程是x=my﹣2，

当m=0时，直线MN的方程是x=﹣2，也符合x=my﹣2的形式．

∴直线MN的方程是x=my﹣2．

设M（x3，y3），N（x4，y4），则 ，得（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，

∴ ，

， = ，

∴ ，

当且仅当 ，即m=±1时，等号成立，此时 取得最小值 ．

【解析】（Ⅰ）由抛物线 得F2（2，0），当直线l斜率不存在，即l：x=2时，满足题意．当直线l斜率存在，设l：y=k（x﹣2）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线方程联立可得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得AB的中点 ，由|PA|=|PB|，可得PG⊥l，kPGk=﹣1，解得k即可得出．（Ⅱ）F2（2，0），可得椭圆C1的方程，设T点的坐标为（﹣3，m），则直线TF1的斜率 =﹣m．当m≠0时，直线MN的斜率 ，直线MN的方程是x=my﹣2，

当m=0时，上述方程．设M（x3，y3），N（x4，y4），与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系、两点之间的距离公式及其基本不等式的性质即可得出．