Question

4．已知双曲线的一个焦点F，点P在双曲线的一条渐近线上，点O为双曲线的对称中心，若△OFP为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{6}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），P在渐近线y=$\frac{b}{a}$x上，△OFP为等腰直角三角形，只能是∠OPF=90°或∠OFP=90°，均有∠POF=45°，运用直线的斜率公式和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
F（c，0），P在渐近线y=$\frac{b}{a}$x上，
△OFP为等腰直角三角形，
只能是∠OPF=90°或∠OFP=90°，
均有∠POF=45°，
即有$\frac{b}{a}$=1，即a=b，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．