Question

16．双曲线9x²-16y²=-144的实轴长等于6，其渐近线与圆x²+y²-2x+m=0相切，则m=$\frac{16}{25}$．

Answer 1

分析 将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，c，可得实轴长2a，渐近线方程，求得圆的圆心和半径，运用直线和圆相切的条件：d=r，解方程可得m的值．

解答 解：双曲线9x²-16y²=-144即为
$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{16}$=1，
可得a=3，b=4，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=5，
实轴长为2a=6；
渐近线方程为y=±$\frac{3}{4}$x，即为3x±4y=0，
圆x²+y²-2x+m=0的圆心为（1，0），半径为$\sqrt{1-m}$，
由直线和圆相切可得$\frac{3}{\sqrt{9+16}}$=$\sqrt{1-m}$，解得m=$\frac{16}{25}$．
故答案为：6，$\frac{16}{25}$．

点评 本题考查双曲线的实轴长和渐近线与圆相切，注意运用双曲线的基本量的关系和直线和圆相切的条件：d=r，考查运算能力，属于基础题．