Question

7．设点A，F（c，0）分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右顶点、右焦点，直线x=$\frac{a^2}{c}$交该双曲线的一条渐近线于点P，若△PAF是等腰三角形，则此双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 3
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由|PF|＞|PA|，|PF|＞|AF|，可得△PAF是等腰三角形即有|PA|=|AF|．设双曲线的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，可得A（a，0），P$（\frac{a^2}{c}\;，\;\frac{ab}{c}）$，运用两点的距离公式，化简整理，由a，b，c的关系和离心率公式，解方程即可得到所求值．

解答 解：显然|PF|＞|PA|，|PF|＞|AF|，
所以由△PAF是等腰三角形得|PA|=|AF|．
设双曲线的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
可得A（a，0），P$（\frac{a^2}{c}\;，\;\frac{ab}{c}）$，
可得$\sqrt{（\frac{{a}^{2}}{c}-a）^{2}+（\frac{ab}{c}）^{2}}$=c-a，
即有${（\frac{a^2}{c}-a）^2}+{（\frac{ab}{c}）^2}={（c-a）^2}$$⇒{（\frac{a}{c}）^2}{（a-c）^2}+{（\frac{a}{c}）^2}（{c^2}-{a^2}）={（c-a）^2}$
$⇒{（\frac{a}{c}）^2}+{（\frac{a}{c}）^2}\frac{c+a}{c-a}=1$$⇒\frac{1}{e^2}+\frac{1}{e^2}\frac{e+1}{e-1}=1$．
化简为e²-e-2=0，
解得e=2（-1舍去）．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和等腰三角形的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．