Question

17．双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）的右焦点为F（c，0），若圆C：（x-c）²+y²=4a²与双曲线E的渐近线相切，则E的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求得双曲线的渐近线方程，圆的圆心和半径，运用直线和圆相切的条件：d=r，计算即可得到b=2a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
圆C：（x-c）²+y²=4a²的圆心为（c，0），半径为2a，
由直线和圆相切的条件可得，
$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b=2a，
可得c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆相切的条件：d=r，考查运算能力，属于中档题．