Question

8．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 设F（c，0），渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，运用点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为b，即为圆F的半径，再由MF垂直于x轴，可得a=b，运用a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求值．

解答 解：设F（c，0），渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
可得F到渐近线的距离为$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，
即有圆F的半径为b，
令x=c，可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
由题意可得$\frac{{b}^{2}}{a}$=b，
即a=b，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
即离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
故选C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点到直线的距离公式，以及直线和圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．