Question

5．已知函数f（x）=$\frac{x}{cosx}$的定义域为（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），当|x_i|＜$\frac{π}{2}$时（i=1，2，3），f（x₁）+f（x₂）≥0，f（x₂）+f（x₃）≥0，f（x₃）+f（x₁）≥0，则下列结论正确的是（　　）

• A． x₁+x₂+x₃＞0
• B． x₁+x₂+x₃＜0
• C． f（x₁+x₂+x₃）≥0
• D． f（x₁+x₂+x₃）≤0

Answer 1

分析 由函数的导函数得知在x∈（0，$\frac{π}{2}$）是单调递增的，再由奇偶性得到在x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上单调递增，通过单调性与奇偶性相结合得到x₁+x₂+x₃≥0，所以对应的函数值可以确定．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{x}{cosx}$的定义域为（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），且f（-x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数
∵f′（x）=$\frac{cosx+xsinx}{（cosx）^{2}}$
∴f（x）在x∈（0，$\frac{π}{2}$）是单调递增的．
∴f（x）在x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上单调递增．
∵f（x₁）+f（x₂）≥0，
∴f（x₁）≥-f（x₂）≥0，
∴f（x₁）≥f（-x₂）≥0，
∴x₁≥-x₂，
同理可得：x₂≥-x₃，x₃≥-x₁
∴x₁+x₂≥0，x₂+x₃≥0，x₃+x₁≥0
∴x₁+x₂+x₃≥0，
∴f（x₁+x₂+x₃）≥f（0）=0，
故选C

点评 本题考查由函数的导函数和奇偶性得到单调性，从而得到x₁+x₂+x₃≥0，所以对应的函数值可以确定．