Question

14．过点E（1，0）作两条互相垂直的直线交抛物线y²=4x于点A、B、C、D，且M、N分别是AB、CD的中点，则三角形EMN面积的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． $\frac{1}{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 不妨设AB的斜率k₁=k＞0，求出CD的斜率k₂=-$\frac{1}{k}$＜0，利用点斜式方程求出直线AB、CD的方程，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得中点M、N的坐标，利用点斜式方程求出直线MN的方程，再求出直线MN与x轴的交点坐标，可得△EMN的面积，利用基本不等式求△EMN面积的最小值．

解答 解：由题意不妨设AB的斜率k₁=k＞0，则CD的斜率k₂=-$\frac{1}{k}$＜0，
所以AB的直线方程是：y=k（x-1），CD的直线方程是y=-$\frac{1}{k}$（x-1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
则x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
所以y₁+y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1）=k（2+$\frac{4}{{k}^{2}}$）-2k=$\frac{4}{k}$，
因为M是AB的中点，所以点M（1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），
同理可得，点N（1+2k²，-2k），
所以直线MN的方程是：y+2k=$\frac{\frac{1}{k}+k}{\frac{1}{{k}^{2}}-{k}^{2}}$（x-1-2k²），令y=0，得x=3，
则直线MN与x轴的交点是（3，0），
所以△EMN面积S=$\frac{1}{2}$（3-1）（$\frac{2}{k}$+2k）=$\frac{2}{k}$+2k≥2$\sqrt{\frac{2}{k}×2k}$=4，
当且仅当$\frac{2}{k}$=2k时取等号，此时k=1，
所以△EMN面积的最小值是4．
故选：D．

点评 本题主要考查抛物线的几何性质，直线方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．