Question

19．若抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，点A（3，2）在抛物线开口内，点P为抛物线上一点，当△APF的周长最小时，△APF的面积为1，则|PF|=（　　）

• A． 1
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，利用△APF的面积为1，求出P的坐标，答案可得．

解答 解：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|
∴△APF的周长最小，|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小
当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，
设P（x，2），则
∵△APF的面积为1，
∴$\frac{1}{2}×（3-x）×2$=1，
∴x=2，
∴P（2，2）．
代入抛物线的方程可得p=1，
∴|PF|=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．