Question

2．已知双曲线的一条渐近线方程为y=4x，且双曲线的焦点与抛物线y²=8x的焦点是重合的，则双曲线的标准方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$
• B． $\frac{{17{x^2}}}{4}-\frac{{17{y^2}}}{64}=1$
• C． $\frac{x^2}{4}-\frac{{4{y^2}}}{5}=1$
• D． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点坐标，确实双曲线的焦点坐标和方程，结合渐近线，利用待定系数法设出双曲线的方程，利用a，b，c的关系进行求解即可．

解答 解：∵双曲线的焦点与抛物线y²=8x的焦点是重合，
∴抛物线的焦点为（2，0），焦点在x轴上，
∵双曲线的一条渐近线方程为y=4x，
∴设双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{16}$=λ（λ＞0），
即$\frac{{x}^{2}}{λ}-\frac{{y}^{2}}{16λ}$=1，
则a²=λ，b²=16λ，
c²=λ+16λ=17λ=4，
则λ=$\frac{4}{17}$，
则双曲线的标准方程为$\frac{{17{x^2}}}{4}-\frac{{17{y^2}}}{64}=1$，
故选：B

点评 本题主要考查双曲线的方程和性质，根据双曲线和抛物线焦点关系求出c，以及利用待定系数法是解决本题的关键．