Question

13．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，PA=AB=BC=1，AC=AD，点E在棱PB上，且PE=2EB．
（1）PD∥平面EAC．
（2）求平面ACE分四棱锥两部分E-ABC与PE-ACD的体积比．

Answer 1

分析 （1）利用线面垂直的性质，可得在直角梯形ABCD中AC⊥AD，根据题中数据结合平行线分线段成比例，算出DC=2AB，从而得到△BPD中，PE：EB=DM：MB=2，所以PD∥EM，由线面平行的判定定理可得PD∥平面EAC．
（2）求出三棱锥E-ABC与四棱锥P-ABCD的体积比，即可求出平面ACE分四棱锥两部分E-ABC与PE-ACD的体积比．

解答 （1）证明：∵PC⊥AD，
∴在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=$\frac{π}{4}$，
∴∠DCA=∠BAC=$\frac{π}{4}$，
又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形，
∴DC=$\sqrt{2}$AC=2AB．
连接BD，交AC于点M，则$\frac{DM}{MB}$=$\frac{DC}{AB}$=2．
连接EM，在△BPD中，$\frac{PE}{EB}$=$\frac{DM}{MB}$=2，∴PD∥EM，
又PD?/平面EAC，EM?平面EAC，
∴PD∥平面EAC；
（2）解：由PE=2EB知三棱锥E-ABC的高是四棱锥P-ABCD的高的$\frac{1}{3}$．
△ABC的面积为$\frac{1}{2}$，四边形ABCD的面积为$\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$，
∴三棱锥E-ABC与四棱锥P-ABCD的体积比为$\frac{1}{9}$，
∴平面ACE分四棱锥两部分E-ABC与PE-ACD的体积比为$\frac{1}{8}$．

点评 本题给出底面是直角梯形的四棱锥，求证线面平行和平面ACE分四棱锥两部分E-ABC与PE-ACD的体积比．着重考查了空间线面平行的判定定理，考查体积的计算等知识，属于中档题．