Question

8．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a}|=2，|{\overrightarrow b}|=1，|{\overrightarrow a-2\overrightarrow b}|≤2$，则$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$上的投影的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{1}{2}，2}]$
• B． $（{\frac{1}{2}，2}）$
• C． $[{\frac{1}{2}，1}]$
• D． $（{\frac{1}{2}，1}）$

Answer 1

分析 根据条件可求出$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影为$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$，并且对$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|≤2$两边平方，进行数量积的运算便可得出cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$的取值范围，即得出$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$上的投影的取值范围．

解答 解：$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$上的投影为：$|\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$；
由$|\overrightarrow{a}|=2，|\overrightarrow{b}|=1$，对$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|≤2$两边平方得：
${\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}=4-8cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞+4≤4$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞≥\frac{1}{2}$；
∴$\frac{1}{2}≤cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞≤1$；
即$\frac{1}{2}≤|\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞≤1$；
∴$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$上的投影的取值范围是$[\frac{1}{2}，1]$．
故选：C．

点评 考查一个向量在另一个向量方向上投影的定义及计算公式，向量数量积的运算及计算公式，以及不等式的性质．