Question

7．已知函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0），满足对任意f（x₁）=f（x₂）=0．都有|x₁-x₂|≥$\frac{π}{2}$，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数g（x）的图象，关于函数g（x），下列说法正确的是（　　）

• A． 其图象关于直线x=-$\frac{π}{4}$对称
• B． 函数g（x）是奇函数
• C． 在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上是增函数
• D． x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]时，函数g（x）的值域是[-2，1]

Answer 1

分析 根据三角函数的图象和性质求出函数的周期和ω，根据三角函数的图象变换关系，求出g（x）的解析式，利用函数奇偶性，对称性和单调性的性质分别进行判断即可．

解答 解：∵对任意f（x₁）=f（x₂）=0．都有|x₁-x₂|≥$\frac{π}{2}$，
∴函数的周期T=2×$\frac{π}{2}$=π，
则$\frac{2π}{ω}$=π，则ω=2，即f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
把函数f（x）的图象沿x轴向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到y=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x，即g（x）=2cos2x
A．g（-$\frac{π}{4}$）=2cos2（-$\frac{π}{4}$）=2cos（-$\frac{π}{2}$）=0≠±1，则图象关于直线x=-$\frac{π}{4}$不对称，故A错误，
B．g（x）=2cos2x是偶函数，故B错误，
C．当$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$时，$\frac{π}{2}$≤2x≤π时，此时函数g（x）为减函数，故C错误，
D．若x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，则2x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，则2cos2x∈[2cosπ，2cos$\frac{π}{3}$]，
即2cos2x∈[-2，1]，
即函数g（x）的值域是[-2，1]，故D错误，
故选：D

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查学生的运算和推理能力．