Question

7．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}{b}$=1的一条渐近线为y=-2x，且一个焦点与抛物线y=$\frac{1}{4}$x²的焦点相同，则此双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{5}{4}$x²-5y²=1
• B． 5y²-$\frac{5}{4}$x²=1
• C． 5x²-$\frac{5}{4}$y²=1
• D． $\frac{5}{4}$y²-5x²=1

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点坐标，确定双曲线的焦点，求出a，b，c，即可求出双曲线的标准方程

解答 解：∵双曲线的一个焦点与抛物线y=$\frac{1}{4}$x²的焦点相同，
∴双曲线的焦点在y轴，且焦点坐标为（0，1），即c=1，
则双曲线$\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}{b}$=1标准方程形式为$\frac{{y}^{2}}{b}$-$\frac{{x}^{2}}{-a}$=1，
则b＞0，a＜0，
由$\frac{{y}^{2}}{b}$-$\frac{{x}^{2}}{-a}$=0得y²=$\frac{b}{-a}$x²，
则双曲线的渐近线为y=±$\sqrt{\frac{b}{-a}}$x，
∵双曲线一条渐近线为y=-2x，
∴$\sqrt{\frac{b}{-a}}$=2，即$\frac{b}{-a}$=4，则b=-4a，
∵b+（-a）=c²=1，
∴-5a=1，则a=-$\frac{1}{5}$，b=$\frac{4}{5}$，
则双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{5}}-\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{5}}$=1，即$\frac{5}{4}$y²-5x²=1，
故选：D

点评 本题主要考查双曲线的方程的求解，根据条件求出焦点坐标，建立方程关系求出a，b，c的值是解决本题的关键．