Question

2．若直线ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+4x-4y-1=0所截得的弦长为6，则$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$的最小值为5+2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 把圆的方程化为标准方程，确定出半径，根据直线与圆截得的弦长为直径，把圆心坐标代入直线方程得到a+b=1，原式变形后，利用基本不等式求出最小值即可．

解答 解：圆x²+y²+4x-4y-1=0的标准方程为（x+2）²+（y-2）²=9，即圆心坐标为（-2，2），半径r=3，
∵直线ax-by+2=0被圆截得的弦长为6，即为直径，
∴-2a-2b+2=0，即a+b=1，
则$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$=（$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$）（a+b）=5+$\frac{2b}{a}$+$\frac{3a}{b}$≥5+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{3a}{b}}$=5+2$\sqrt{6}$，
当$\frac{2b}{a}$=$\frac{3a}{b}$，即a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$b时取等号．
故答案为：5+2$\sqrt{6}$

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，以及基本不等式，确定出直线被圆截得的弦长为直径是解本题的关键．