Question

12．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC=1．
（1）求证：平面PAB⊥平面PCB；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积V．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥底面ABCD得PA⊥BC，又AB⊥BC，故BC⊥平面PAB，于是平面PAB⊥平面PCB；
（2）由PA⊥底面ABCD得PA⊥AD，又AD⊥PC，故AD⊥平面PAC，于是AD⊥AC，由到腰直角三角形ABC可计算AC=$\sqrt{2}$，∠BAC=45°，故∠ACD=45°，于是CD=$\sqrt{2}AC=2$，代入棱锥体积公式计算即可求得体积．

解答 （1）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC．又AB⊥BC，PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB．又BC?平面PCB，
∴平面PAB⊥平面PCB．
（2）解：∵PA⊥底面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PA⊥AD．又PC⊥AD，PA?平面PAC，PC?平面PAC，PA∩PC=P，
∴AD⊥平面PAC，∵AC?平面PAC，
∴AC⊥AD，
∵AB⊥BC，AB=BC=1，
∴∠BAC=$\frac{π}{4}$，AC=$\sqrt{2}$，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC=$\frac{π}{4}$．
又AC⊥AD，∴△DAC为等腰直角三角形，
∴DC=$\sqrt{2}$AC=2，
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}×（1+2）×1$=$\frac{3}{2}$，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×1=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．