Question

11．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边长，且cosA=$\frac{3}{5}$．
（1）求sin²$\frac{B+C}{2}$+cos2A的值；
（2）若b=2，△ABC的面积S=4，求a．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式、诱导公式化简即可得出．
（2）sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$，由S=$4=\frac{1}{2}bcsinA$，解得c．再利用余弦定理可得：a²=2²+c²-2×2×ccosA．

解答 解：（1）∵cosA=$\frac{3}{5}$，
∴sin²$\frac{B+C}{2}$+cos2A=$\frac{1-cos（B+C）}{2}$+cos2A=$\frac{1+cosA}{2}$+2cos²A-1=$\frac{1+\frac{3}{5}}{2}$+$2×（\frac{3}{5}）^{2}$-1=$\frac{13}{25}$．
（2）∵cosA=$\frac{3}{5}$，∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$．
由S=$4=\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×2c$×$\frac{4}{5}$，解得c=5．
∴a²=2²+c²-2×2×ccosA=4+5²-$4×5×\frac{3}{5}$=17，
解得a=$\sqrt{17}$．

点评 本题考查了余弦定理、倍角公式、诱导公式、三角形面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．