Question

16．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其面积为S，且2$\sqrt{3}$S=a²-（b-c）²
（1）求tanA；
（2）若a=1，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知式子结合三角形的面积公式和余弦定理以及同角三角函数基本关系可解得cosA，进而可得sinA和tanA；
（2）由（1）和二倍角公式可得cos$\frac{A}{2}$，由正弦定理以及和差化积公式可得△ABC周长=1+$\frac{7sinB}{4\sqrt{3}}$+$\frac{7sinC}{4\sqrt{3}}$=1+$\frac{\sqrt{21}}{3}$cos$\frac{B-C}{2}$，由三角函数值域可得．

解答 解：（1）∵在△ABC中2$\sqrt{3}$S=a²-（b-c）²，
∴2$\sqrt{3}$•$\frac{1}{2}$bcsinA=a²-b²-c²+2bc=-2bccosA+2bc
∴$\sqrt{3}$sinA=-2cosA+2，即sinA=$\frac{2}{\sqrt{3}}$（1-cosA）
由sin²A+cos²A=1可得$\frac{4}{3}$（1-cosA）²+cos²A=1，
整理可得7cos²A-8cosA+1=0即（cosA-1）（7cosA-1）=0，
解得cosA=$\frac{1}{7}$，或cosA=1（此时A=0，不合题意，舍去）
由同角三角函数基本关系可得sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=4$\sqrt{3}$；
（2）由（1）可得sinA=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，cosA=$\frac{1}{7}$，
∴2cos²$\frac{A}{2}$-1=$\frac{1}{7}$，解方程舍去负值可得cos$\frac{A}{2}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
结合a=1和正弦定理可得b=$\frac{7sinB}{4\sqrt{3}}$，c=$\frac{7sinC}{4\sqrt{3}}$，
∴△ABC周长=1+$\frac{7sinB}{4\sqrt{3}}$+$\frac{7sinC}{4\sqrt{3}}$=1+$\frac{7}{4\sqrt{3}}$（sinB+sinC）
=1+$\frac{7}{4\sqrt{3}}$•2sin$\frac{B+C}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$=1+$\frac{7}{4\sqrt{3}}$•2cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$
=1+$\frac{\sqrt{21}}{3}$cos$\frac{B-C}{2}$≤1+$\frac{\sqrt{21}}{3}$，当且仅当B=C时取等号．
故△ABC周长的最大值为1+$\frac{\sqrt{21}}{3}$

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式以及和差化积公式，属中档题．