Question

7．求与圆x²+（y-2）²=1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线方程$\sqrt{3}$x±y=0或x+y-（2±$\sqrt{2}$）=0．．

Answer 1

分析 当直线过原点时斜率存在，设方程为y=kx，当直线不过原点时，设直线的方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}$=1，分别联立方程由△=0可得．

解答 解：当直线过原点时斜率存在，设方程为y=kx，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+（{y-2）}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y可得（k²+1）x²-4kx+3=0，
由相切可得△=16k²-12（k²+1）=0，解得k=±$\sqrt{3}$，
∴所求直线的方程为y=±$\sqrt{3}$x，即$\sqrt{3}$x±y=0；
当直线不过原点时，设直线的方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}$=1，即y=a-x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=a-x}\\{{x}^{2}+（y-2）^{2}=1}\end{array}\right.$，消去x可得2y²-（4+2a）y+a²+3=0，
由相切可得△=（4+2a）²-8（a²+3）=0，解得a=2±$\sqrt{2}$，
∴所求直线的方程为x+y-（2±$\sqrt{2}$）=0
综上可得所求直线的方程为：$\sqrt{3}$x±y=0或x+y-（2±$\sqrt{2}$）=0．
故答案为：$\sqrt{3}$x±y=0或x+y-（2±$\sqrt{2}$）=0．

点评 本题考查直线与圆的相切关系，涉及分类讨论的思想和一元二次方程的根与判别式的关系，属中档题．