Question

17．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$），cosα=$\frac{3}{5}$．
（1）求sin（$\frac{π}{6}$+α）的值；
（2）求cos（$\frac{π}{3}$+2α）的值．

Answer 1

分析 （1）由题意和同角三角函数基本关系可得sinα，代入sin（$\frac{π}{6}$+α）=$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα，计算可得；
（2）由（1）和二倍角公式可得sin2α和cos2α，代入cos（$\frac{π}{3}$+2α）=$\frac{1}{2}$cos2α-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2α，计算可得．

解答 解：（1）∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），cosα=$\frac{3}{5}$，
∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{4}{5}$，
∴sin（$\frac{π}{6}$+α）=$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα
=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$；
（2）由（1）可得sin2α=2sinαcosα=$\frac{24}{25}$，
cos2α=cos²α-sin²α=-$\frac{7}{25}$，
∴cos（$\frac{π}{3}$+2α）=$\frac{1}{2}$cos2α-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2α
=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{7}{25}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{24}{25}$=-$\frac{7+24\sqrt{3}}{50}$

点评 本题考查和差角的三角函数公式，涉及二倍角公式和同角三角函数基本关系，属基础题．