Question

19．已知双曲线$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{2}=1$的左焦点为F，点P为双曲线右支上一点，点A满足$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AF}=0$，则点A到原点的最近距离为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 设F'为双曲线的右焦点，PF的中点为M，由双曲线的定义可得|PF|-|PF'|=2$\sqrt{3}$，再由中位线定理可得|OM|=$\frac{1}{2}$|PF'|，求得A的轨迹：A在以PF为直径的圆上，当O，A，M共线时，可得OA取得最小值，计算即可得到所求最小值．

解答 解：设F'为双曲线的右焦点，PF的中点为M，由双曲线的定义可得
|PF|-|PF'|=2a=2$\sqrt{3}$，
由OM为三角形PFF'的中位线，可得|OM|=$\frac{1}{2}$|PF'|，
又点A满足$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AF}=0$，可得A在以PF为直径的圆上，
当O，A，M共线时，可得OA取得最小值，且为|OA|=r-|OM|=$\frac{1}{2}$|PF|-|OM|=$\frac{1}{2}$|PF|-$\frac{1}{2}$|PF'|=$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题考查两点的距离的最小值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的性质，及三点共线取得最小值，考查运算能力，属于中档题．