Question

14．设A（-3，0），B（3，0），若直线y=-$\frac{3\sqrt{5}}{10}$（x-5）上存在一点P满足|PA|-|PB|=4，则点P到z轴的距离为（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{5}}{4}$
• B． $\frac{5\sqrt{5}}{3}$
• C． $\frac{3\sqrt{5}}{4}$或$\frac{3\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{5\sqrt{5}}{3}$或$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根据条件得到P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，求出双曲线的方程，联立方程组求出P的坐标即可得到结论．

解答 解：∵A（-3，0），B（3，0），P满足|PA|-|PB|=4＜|AB|，
∴P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，其中c=3，2a=4，
则a=2，b²=9-4=5，
即双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，
若直线y=-$\frac{3\sqrt{5}}{10}$（x-5）上存在一点P满足|PA|-|PB|=4，
则有$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3\sqrt{5}}{10}（x-5）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$消去y得16x²+90x-325=0，
即（2x-5）（8x+65）=0，
得x=$\frac{5}{2}$或（x=-$\frac{65}{8}$＜0舍），
此时y=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，
即点P到z轴的距离为$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，
故选：A

点评 本题主要考查双曲线方程和性质，根据条件确定双曲线的方程，联立方程组求出交点坐标是解决本题的关键．