Question

【题目】在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为 （α为参数，α∈[0，π]），直线l的极坐标方程为 ．
（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）P为曲线C上任意一点，Q为直线l任意一点，求|PQ|的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵曲线C的参数方程为 （α为参数，α∈[0，π]），

∴曲线C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1．（y≥0）．

∵直线l的极坐标方程为 ，

即ρsinθ﹣ρcosθ=4，

∴直线l的直角坐标方程为x﹣y+4=0．

（2）解：∵P为曲线C上任意一点，Q为直线l任意一点，

∴设P（1+cosα，sinα），α∈[0，π]，

则P到直线l的距离：

d= = ，

∵α∈[0，π]，∴当α= 时，dmin= = ．

∴|PQ|的最小值为 ．

【解析】（1）曲线C的参数方程消去参数α，能求出曲线C的普通方程；直线l的极坐标方程转化为ρsinθ﹣ρcosθ=4，由此能求出直线l的直角坐标方程．（2）设P（1+cosα，sinα），α∈[0，π]），求出P到直线l的距离，结合三角函数的性质能求出|PQ|的最小值．