Question

【题目】已知函数 （k∈R）．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若k∈N*，且当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求k的最大值．（ ）

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ﹣ = ，（x＞0）．

①k≤0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．

②k＞0时，f′（x）= ．

△=（2﹣k）2﹣4=k（k﹣4）≤0时，解得0＜k≤4，f′（x）≥0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．

△=k（k﹣4）＞0，k＞0时，解得k＞4．由x2+（2﹣k）x+1=0，解得x= ，

取x1= ，x2= .0＜x1＜x2．

∴f′（x）= ．令f′（x）＞0，解得x＞x2，0＜x＜x1，则函数f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增；在（x1，x2）上单调递减．

综上可得：k≤4，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．

k＞4时，函数f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增；在（x1，x2）上单调递减，其中x1= ，x2= ，0＜x1＜x2．

（2）解：由（I）可得：k≤4，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．而f（1）=5﹣ ≥3，∴当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0恒成立，满足条件．

k＞4时，函数f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增；在（x1，x2）上单调递减，其中x1= ，x2= ，0＜x1＜x2．

由于x1= ＜1＜x2，若f（1）=5﹣ ≥0，解得k≤10．

k＞10时舍去．

4＜k≤10时，必须f（x2）＞0，

由 +（2﹣k）x2+1=0，可得kx2= +2x2+1，

∴f（x2）=5+lnx2﹣ =4﹣x2+lnx2＞0，

k=10时，由 ﹣8x2+1=0，x2＞1，解得x2=4+ ．

f（x2）=4﹣（4+ ）+ln（4+ ）=ln（4+ ）﹣ ＜0，舍去．

同理可得：k=9不满足条件舍去．

k=8时，由 ﹣6x2+1=0，x2＞1，解得x2=3+2 ．

f（x2）=4﹣（3+2 ）+ln（3+2 ）≈1﹣2 +1.76＜0，舍去．

k=7时，由 ﹣5x2+1=0，x2＞1，解得x2= ∈（4.75，4.8）．

f（x2）=4﹣x2+lnx2＞0，

综上可得：当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0恒成立，k的最大值为7．

【解析】（I）f′（x）= ﹣ = ，（x＞0）．①k≤0时，f′（x）＞0，可得单调性．②k＞0时，f′（x）= ．△≤0时，解得0＜k≤4，f′（x）≥0，可得函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．△＞0，解得k＞4．由x2+（2﹣k）x+1=0，取x1= ，x2= .0＜x1＜x2 ． f′（x）= ．即可得出单调性．（II）由（I）可得：k≤4，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．而f（1）=5﹣ ≥3，当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0恒成立，满足条件．k＞4时，函数f（x）在在（1，x2）上单调递减，（x2 ， +∞）上单调递增；1＜x2 ． 若f（1）=5﹣ ≥0，解得k≤10．k＞10时舍去．4＜k≤10时，必须f（x2）＞0，经过验证即可得出．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．