Question

【题目】如图，在梯形ABCD中，AB∥C，AD=DC=CB=1，∠ABC═60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（1）求证：BC⊥平面ACFE；
（2）求二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值；
（3）若点M在线段EF上运动，设平MAB与平FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，

∴AB=2，AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos60°=3，

∴AB2=AC2+BC2，∴BC⊥AC，

∵平面ACFE⊥平面ABCD，

平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC平面ABCD，

∴BC⊥平面ACFE．

（2）解：取FB中点G，连接AG，CG，

∵AF= =2，∴AB=AF，∴AG⊥FB，

∵CF=CB=1，∴CG⊥FB，∴∠AGC=θ，

∵BC=CF，∴FB= ，∴CG= ，AG= ，

∴cosθ= = ．

（3）解：由（2）知：

①当M与F重合时，cosθ= ．

②当M与E重合时，过B作BN∥CF，且使BN=CF，

连接EN，FN，则平面MAB∩平面FCB，

∵BC⊥CF，AC⊥CF，∴CF⊥平面ABC，∴BN⊥平面ABC，

∴∠ABC=θ，∴θ=60°，∴cosθ= ．

③当M与E，F都不重合时，令FM=λ，0＜λ＜ ，

延长AM交CF的延长线于N，连接BN，

∴N在平面MAB与平面FCB的交线上，

∵B在平面MAB与平面FCB的交线上，

∴平面MAB∩平面FCB=BN，

过C作CH⊥NB交NB于H，连接AH，

由（1）知，AC⊥BC，

又∵AC⊥CN，∴AC⊥平面NCB，∴AC⊥NB，

又∵CH⊥NB，AC∩CH=C，∴NB⊥平面ACH，

∴AH⊥NB，∴∠AHC=θ，

在△NAC中，NC= ，

从而在△NCB中，CH= ，

∵∠ACH=90°，∴AH= = ，

∴cosθ= = ，

∵0 ，

∴ ，

综上所述，cosθ∈[ ， ]．

【解析】（1）在梯形ABCD中，由AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，推导出AB2=AC2+BC2 ， BC⊥AC，由平面ACFE⊥平面ABCD，能证明BC⊥平面ACFE．（2）取FB中点G，连接AG，CG，由AF= =2，知AB=AF，AG⊥FB，由CF=CB=1，CG⊥FB，∠AGC=θ，由此能求出二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值．（3）由点M在线段EF上运动，分当M与F重合，M与E重合时，当M与E，F都不重合三种情况进行分类讨论，能求出cosθ的取值范围．
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．