Question

【题目】已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),设，

(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求F(x)的表达式;

(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围;

(3)设mn<0,m+n>0,a>0,且f(x)满足f(-x)=f(x),试比较F(m)+F(n)的值与0的大小.

Answer 1

【答案】(1).(2).(3) F(m)+F(n)>0.

【解析】

（1）由可得；然后再根据f(x)≥0恒成立并结合判别式可得a=1，进而可得函数的解析式．（2）由题意可得，根据函数有单调性可得对称轴与所给区间的关系，从而可得k的取值范围．（3）结合题意可得函数为奇函数且在R上为增函数，再根据条件mn<0,m+n>0可得F(m)+F(n)>0．

(1)∵，

∴b=a+1.

∵f(x)≥0对任意实数x恒成立，

∴，

解得a=1．

∴f(x)=x2+2x+1.

故．

(2)由(1)知f(x)=x2+2x+1，

∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1．

由g(x)在区间[-2,2]上是单调函数可得或，

解得k≤-2或k≥6．

故k的取值范围为．

(3)∵f(-x)=f(x)，

∴f(x)为偶函数，

∴b=0．

又a>0,

∴f(x)在区间[0,+∞)为增函数．

对于F(x),当x>0时，；

当x<0时,，

∴,且F(x)在区间[0,+∞)上为增函数，

∴在上为增函数．

由mn<0,知m,n异号,不妨设m>0,n<0,

则有m>-n>0，

∴，

∴．