Question

【题目】已知正项数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足4Sn﹣1=an2+2an ， n∈N* ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn= ，数列{bn}的前n项和为Tn ， 证明： ≤Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=1时，4a1=4S1= +2a1+1，

解得a1=1．

当n≥2时，4Sn=an2+2an+1，4Sn﹣1=an﹣12+2an﹣1+1，

相减得4an=an2+2an﹣（an﹣12+2an﹣1），即an2﹣an﹣12=2（an+an﹣1），

又an＞0，∴an+an﹣1≠0，则an﹣an﹣1=2，

∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，

∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．

（2）解：bn= = = ，

∴数列{bn}的前n项和：

Tn=

= ，

（Tn）min=T1= = ，

∴ ≤Tn＜ ．

【解析】（1）通过4Sn﹣1=an2+2an ， 令n=1可得首项，当n≥2时，利用4an=an2+2an﹣（an﹣12+2an﹣1）可得公差，进而可得结论；（2）由bn= = = ，利用裂项求和法能证明 ≤Tn＜ ．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．