Question

【题目】已知椭圆C：的离心率为，且抛物线的准线恰好过椭圆的一个焦点。

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值。

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析: （1）设椭圆的焦半距为，抛物线的准线为，

，，代入椭圆的方程即可得答案．

（2）分析易得直线不能与轴垂直，设的方程为，联立与椭圆的方程得，计算分析可得直线与椭圆有两个交点，设点，由根与系数的关系分析可得的值，由点到直线的距离公式计算O到l的距离，进而分析可得，由基本不等式的性质分析可得答案．

试题解析:（1）设椭圆的焦半距为，抛物线的准线为，

，所以椭圆的方程是．

（2）由题意直线不能与轴垂直，否则将无法构成三角形．

设其斜率为，那么直线的方程为．

联立与椭圆的方程，消去，得．

．

设点得，

所以，

又到的距离

所以的面积．

令，那么，

，

因为是减函数

所以当时， 所以△OMN面积的最大值是．