Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）对于任意，恒成立，求的取值范围；

（3）试讨论函数的极值点的个数.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）解答见解析

【解析】

（1）由题意，当时，可得，求得，且，利用点斜式方程，即可求解；

（2）由，恒成立，转化为即在上恒成立，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解；

（3）由，得到则，令，得到，对分类讨论，即可求解．

（1）由题意，当时，函数，

则，可得，且，

所以在处的切线方程．

（2）由，恒成立，

即在上恒成立，

令，则，

当，即时，在上恒成立，

所以在上单调递增，所以，

当，即时，令，得（舍去）.

	-	0	+

所以当时，，不符合题意.

综上可得，，即的取值范围.

（3）由，

则，

令，则，

①当，即时，恒成立，∴在上单调递增，

且，.

由零点存在性定理可知在上存在唯一的零点，不妨设为.

	-	0	+
		极小值

所以函数有一个极值点；

②当，即时，令，则.

	-	0	+
		极小值

所以函数的最小值为.

1*）当，即时，恒成立，

令，

由，得，

∴在上单调递增，在上单调递减，得，

∴，

∴单调递增，无极值点，即时，无极值点.

2*）当，即时，且.

∵，∴在上有唯一的零点.

下面先证：.

设，∴，

当时，单调递减；

当时，单调递增，

所以，即得证，

所以，

又因为，所以，

由零点存在性定理可知在上存在唯一零点，不妨设，

				1
	+	0	-	0	+

所以函数有两个极值点；

3*）当时，且，，，

又由，

∴由零点存在性定理可知在与上各存在唯一零点，

同上2*）可知有两个极值点.

综上所述，当时，有一个极值点；当且时，有两个极值点；当时，无极值点.