Question

在△ABC中，a、b、c分别在各角的对边．
（1）证明：关于x的方程x²+（ccosB）x-a=0有两个不相等的实根；
（2）若上述方程的两根之和等于两根之积，证明：△ABC为直角三角形．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由题意易证△=c²cos²B+4a＞0，故方程有两个不相等的实根；
（2）由韦达定理可得ccosB=a，再由正弦定理可得sinCcosB=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，可得cosB=0，B=

π

2

，可得结论．

解答： 证明：（1）∵a、b、c分别在各角的对边，
∴△=（ccosB）²-4×1×（-a）=c²cos²B+4a＞0，
∴关于x的方程x²+（ccosB）x-a=0有两个不相等的实根；
（2）∵方程x²+（ccosB）x-a=0的两根之和等于两根之积，
∴-ccosB=-a，即ccosB=a，
由正弦定理可得sinCcosB=sinA，
∴sinCcosB=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴cosBsinC=0，
∵A、B、C为三角形的内角，∴sinC＞0
∴cosB=0，B=

π

2

∴△ABC为直角三角形．

点评：本题考查解三角形，涉及韦达定理和正余弦定理，属基础题．