练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知函数f（x）=
    1
    2
    x2-（a-1）x+alnx，其中常数a∈R．
    （Ⅰ）当a=6时，求函数f（x）的极值点；
    （Ⅱ）证明：对任意x∈[1，+∞），lnx≥
    2(x-1)
    x+1
    恒成立；
    （Ⅲ）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函数f（x）图象上存在点M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2）），使得在点M处的切线l∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当x0=
    x1+x2
    2
    ，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试问：当a=1时，对于函数f（x）图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”，并证明你的结论．
    考点：函数恒成立问题,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值
    专题：导数的综合应用
    分析：（Ⅰ）当a=6时，求函数导数，根据函数极值和导数之间的关系即可求函数f（x）的极值点；
    （Ⅱ）构造函数g（x）=lnx-
    2(x-1)
    x+1
    ，求函数的导数，即可证明不等式；
    （Ⅲ）根据“中值伴侣切线”的定义，结合切线平行和斜率之间的关系，即可得到结论．
    解答： 解：（Ⅰ）当a=6时，f（x）=
    1
    2
    x2-5x+6lnx，
    f′（x）=x-5+
    6
    x
    =
    x2-5x+6
    x
    ．（x＞0），
    当f′（x）=0时，解得x=2或x=3，
    当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，2），（3，+∞）上单调递增，
    当2＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）在（2，3）上单调递减，
    ∴x=2为函数f（x）的极大值点，x=3为函数f（x）的极小值点．
    （Ⅱ）令g（x）=lnx-
    2(x-1)
    x+1
    ，（x≥1），
    则g′（x）=
    1
    x
    -
    2(x+1)-2(x-1)
    (x+1)2
    =
    (x-1)2
    x(x+1)2
    ，
    ∵x≥1，∴g′（x）≥0，
    ∴g（x）在[1，+∞）上递增，
    ∴g（x）≥g（1）=0（当且仅当x=1时等号成立），
    即证：对任意x∈[1，+∞），lnx≥
    2(x-1)
    x+1
    恒成立；   
    （ III）当a=1，f（x）=
    1
    2
    x2-+lnx，x＞0，
    f′（x）=x+
    1
    x
    ，假设函数f（x）存在“中值伴侣切线”．
    设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），M（x0，y0）是曲线y=f（x）上的不同点，且0＜x1＜x2，x0=
    x1+x2
    2
    ，
    则直线AB的斜率：kAB=
    y2-y1
    x2-x1
    =
    1
    2
    x22+lnx2-
    1
    2
    x12-lnx1
    x2-x1
    =
    1
    2
    （x1+x2）+
    lnx2-lnx1
    x2-x1
    ，
    曲线在点M（x0，y0）处的切线斜率：k=f′（x0）=f′（
    x1+x2
    2
    ）=
    x1+x2
    2
    +
    2
    x1+x2
    ，
    依题意：kAB=k，即
    1
    2
    （x1+x2）+
    lnx2-lnx1
    x2-x1
    =
    x1+x2
    2
    +
    2
    x1+x2
    ，
    化简得
    lnx2-lnx1
    x2-x1
    =
    2
    x1+x2
    ，
    即ln
    x2
    x1
    =
    2(x2-x1)
    x1+x2
    =
    2(
    x2
    x1
    -1)
    x2
    x1
    +1
    ，
     设t=
    x2
    x1
    ，则t＞1，上式化为lnt=
    2(t-1)
    t+1
    ，
    由（2）知t＞1时，lnx＞
    2(x-1)
    x+1
    恒成立．
    ∴在（1，+∞）内不存在t，使得lnt=
    2(t-1)
    t+1
    成立．
    综上所述，假设不成立．所以，函数f（x）不存在“中值伴侣切线”．
    点评：本题主要考查函数的极值和导数的关系，综合考查导数的应用，考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=2
    		3
    ，点D 在BC边上，∠ADC=45°．
    （1）求C的大小；
    （2）求AD的长．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，a、b、c分别在各角的对边．
    （1）证明：关于x的方程x2+（ccosB）x-a=0有两个不相等的实根；
    （2）若上述方程的两根之和等于两根之积，证明：△ABC为直角三角形．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    若x∈[-
    π
    3
    ，
    π
    4
    ]，求函数y=
    2
    cos2x+1
    +2tanx+1的最值及相应的x的值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，求证四边形B1BCC1为正方形．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    正三棱柱ABC-A1B1C1内接于半径为1的球，则当该棱柱体积最大时，高h=
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列命题：
    ①
    a
    •
    b
    ＞0是
    a
    •
    b
    的夹角为锐角的充要条件；
    ②若f（x）在R上满足f（x-2）=-f（x），则f（x）是以4为周期的周期函数；
    ③函数f（x）=
    (
    1
    2
    )x-1，x≤0
    log2x，x＞0
    ，则f（f（
    1
    2
    ））的值是1；
    ④方程lnx+x=4有且仅有一个实数根．
    其中正确命题的序号是
     
    ．（写出所有真命题的代号）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    一个棱柱至少有（　　）个面，面数最少的一个棱锥有（　　）个顶点，顶点最少的一个棱台有（　　）条侧棱．
    A、8  4  6
    B、5  4  3
    C、4  4  4
    D、4  6  3

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知实数x，y满足
    x-2y+1≥0
    |x|-y-1≤0
    ，则z=
    2x+y+2
    x
    的取值范围为（　　）
    A、[0，
    10
    3
    ]
    B、（-∞，0]∪[
    10
    3
    ，+∞）
    C、[2，
    10
    3
    ]
    D、（-∞，2]∪[
    10
    3
    ，+∞）

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案