Question

已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），g（x）=2x²-4x-16，且|f（x）|≤|g（x）|对x∈R恒成立．
（1）求a、b的值；
（2）若对x＞2，不等式f（x）≥（m+2）x-m-15恒成立，求实数m的取值范围．
（3）记h（x）=-f（x）-4，那么当k时，是否存在区间[m，n]（m＜n），使得函数h（x）在区间[m，n]上的值域恰好为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由g（x）=0，解得x=-2或4，
∵|f（x）|≤|g（x）|对x∈R恒成立，
∴必有，解得，
此时满足|f（x）|≤|g（x）|．
∴a=-2，b=-8．
（2）由（1）可知：f（x）=x²-2x-8，
∵对x＞2，不等式f（x）≥（m+2）x-m-15恒成立，
∴对x＞2恒成立．
记u（x）===2，当且仅当x=3时取等号．
∴m≤[u（x）]_min=2．
∴实数m的取值范围是（-∞，2]．
（3）∵，∴．
∴，
又∵，∴．
∴[m，n]⊆（-∞，1]，
∴h（x）在[m，n]上是增函数．
∴，即．
解得．
又∵，m＜n，
因此：①当时，[m，n]=[0，2-2k]；
②当k＞1时，[m，n]=[2-2k，0]；
③当k=1时，[m，n]不存在．
分析：（1）由g（x）=0，解得x=-2或4，要使|f（x）|≤|g（x）|对x∈R恒成立，必有，解出即可；
（2）对x＞2，不等式f（x）≥（m+2）x-m-15恒成立?对x＞2恒成立，利用基本不等式求得右边的最小值即可．
（3）利用二次函数的单调性，对k分类讨论即可得出．
点评：把恒成立问题正确等价转化，熟练掌握二次函数的单调性、基本不等式的性质、分类讨论的思想方法是解题的关键．