Question

【题目】已知函数,为的导函数.

(1)求证:在上存在唯一零点;

(2)求证:有且仅有两个不同的零点.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.

【解析】

(1) 设，然后判断函数在上的符号，得出的单调性，再利用零点存在定理判断在上是否存在唯一零点即可；

(2) 分，，和三种情况分别考虑的零点存在情况，从而得证．

(1)设，

当时，，所以在上单调递减，

又因为，

所以在上有唯一的零点，所以命题得证．

(2) ①由(1)知：当时，，在上单调递增;

当时，，在上单调递减;

所以在上存在唯一的极大值点

所以

又因为

所以在上恰有一个零点．

又因为

所以在上也恰有一个零点．

②当时，，

设，

所以在上单调递减，所以

所以当时，恒成立

所以在上没有零点．

③当时，

设，

所以在上单调递减，所以

所以当时，恒成立

所以在上没有零点．

综上，有且仅有两个零点．