【题目】对于正整数
，如果
个整数
满足
，
且
，则称数组
为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为
均为奇数的“正整数分拆”的个数为
.
(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;
(Ⅱ)对于给定的整数
，设是的一个“正整数分拆”，且
，求
的最大值;
(Ⅲ)对所有的正整数，证明:
;并求出使得等号成立的的值.
(注:对于的两个“正整数分拆”与
，当且仅当
且
时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)
【答案】(Ⅰ) 
，
，
，
，
；(Ⅱ) 
为偶数时，
，为奇数时，
；(Ⅲ)证明见解析，
，
【解析】
(Ⅰ)根据题意直接写出答案.
(Ⅱ)讨论当为偶数时，
最大为，当为奇数时，最大为，得到答案.
(Ⅲ) 讨论当为奇数时，
，至少存在一个全为1的拆分，故
，当为偶数时，
根据对应关系得到
，再计算
，
，得到答案.
(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：，，，，.
(Ⅱ)当为偶数时，
时，最大为；
当为奇数时，
时，最大为；
综上所述：为偶数，最大为，为奇数时，最大为.
(Ⅲ)当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故；
当为偶数时，设
是每个数均为偶数的“正整数分拆”，
则它至少对应了
和
的均为奇数的“正整数分拆”，
故.
综上所述：.
当时，偶数“正整数分拆”为
，奇数“正整数分拆”为
，；
当时，偶数“正整数分拆”为，，奇数“正整数分拆”为，
故；
当
时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为
的奇数拆分外，至少多出一项各项均为的“正整数分拆”，故.
综上所述：使
成立的为：或.
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
的离心率为
，过点
的直线
与
有两个不同的交点
，线段
的中点为
，
为坐标原点，直线与直线
分别交直线
于点
.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求线段
的最小值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知动圆
与圆
：
外切且与
轴相切.
（1）求圆心的轨迹
的方程；
（2）过作斜率为
的直线
交曲线于
，
两点，
①若
，求直线的方程；
②过，两点分别作曲线的切线
，
，求证：，的交点恒在一条定直线上.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试,现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段
进行分组,假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,则得到体育成绩的折线图（如下）:
（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年级有1000名学生,试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数;
（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况,现从体育成绩在
和
的样本学生中随机抽取2人,求在抽取的2名学生中,至少有1人体育成绩在
的概率;
（Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为
且分别在
三组中,其中
当数据
的方差
最小时,写出
的值.（结论不要求证明）
（注: 
,其中
为数据
的平均数）
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在四棱锥
中，平面
平面
，底面
为梯形，
，
，且
，
，
．
（I）求证：
；
（II）求二面角_____的余弦值；
从①
，②
，③
这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
（III）若
是棱
的中点，求证：对于棱
上任意一点
，
与
都不平行．
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