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    【题目】已知动圆与圆：外切且与轴相切.

    （1）求圆心的轨迹的方程；

    （2）过作斜率为的直线交曲线于，两点，

    ①若，求直线的方程；

    ②过，两点分别作曲线的切线，，求证：，的交点恒在一条定直线上.

    【答案】（1）或；（2）①：；②证明见解析

    【解析】

    （1）把圆化成标准方程形式，根据题意列出等式，然后两边平方，结合绝对值的性质进行求解即可；

    （2）①设直线的方程与抛物线方程联立，根据共线向量的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可；

    ②把抛物线方程写成函数形式，利用导数求出切线方程，结合①结论进行求解即可.

    （1）：，

    设，则

    ：或.

    （2）由已知得直线：，把代入得，，

    ①设，，由得，

    ∴，又由得，，∴，

    ∴：.

    ②由得，∴，

    ∴：，

    ，

    ∴，的交点恒在直线上.

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    (Ⅱ)对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值;

    (Ⅲ)对所有的正整数，证明:;并求出使得等号成立的的值.

    (注:对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)

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    一班

    二班

    三班

    女生人数

    20

    男生人数

    20

    20

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    （1）若时，讨论在区间上零点个数；

    （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.

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    （II），证明：

    （i）；

    （ii）三个数中至少有一个是偶数；

    （III）设，中有m（，且为奇数）个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为，证明：．

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