【题目】已知函数.
(1)若时,讨论
在区间
上零点个数;
(2)若当时,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)一个零点;(2)
【解析】
分
和
两种情况进行分类讨论,利用零点存在性定理进行判断即可;
利用分类讨论思想,分
,
,
分别求解函数
的导数
,利用导数
判断函数
的单调性,求出函数
在
上的最小值即可.
(1)当时,
,
当时,
,故
,
故在
上无零点;
当时,
,
因为,
,故
,
因此在
上单调递增.
因为,
,
故存在唯一使得
.
综上知,在区间
上有一个零点;
(2)当时,
,
①当时,因为
,
,
,
故,所以
在
上单调递增.
故,符合题意;
②当时,令
,
,
故在
上单调递增,
故,可得
,
所以在
上单调递增,
因此,符合题意;
③当时,令
,
则,
,
令,
,
故,故
,
由零点存在性定理可知,存在使得
,
所以在上
,在
上
,
故在
上单调递减,在
上单调递增,
当时,
,与题意矛盾,
故不符合题意.
综上可得,实数的取值范围为
.
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【题目】下列四个命题中,真命题的个数是 ( )
①命题:“已知 ,“
”是“
”的充分不必要条件”;
②命题:“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件;
③命题:已知幂函数的图象经过点(2,
),则f(4)的值等于
;
④命题:若,则
.
A. 1B. 2C. 3D. 4
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的离心率为
,过点
的直线
与
有两个不同的交点
,线段
的中点为
,
为坐标原点,直线
与直线
分别交直线
于点
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)求线段的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知动圆与圆
:
外切且与
轴相切.
(1)求圆心的轨迹
的方程;
(2)过作斜率为
的直线
交曲线
于
,
两点,
①若,求直线
的方程;
②过,
两点分别作曲线
的切线
,
,求证:
,
的交点恒在一条定直线上.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试,现从中随机抽取40名学生的测试成绩,整理数据并按分数段进行分组,假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,则得到体育成绩的折线图(如下):
(Ⅰ)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年级有1000名学生,试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数;
(Ⅱ)为分析学生平时的体育活动情况,现从体育成绩在和
的样本学生中随机抽取2人,求在抽取的2名学生中,至少有1人体育成绩在
的概率;
(Ⅲ)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为且分别在
三组中,其中
当数据
的方差
最小时,写出
的值.(结论不要求证明)
(注: ,其中
为数据
的平均数)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在四棱锥中,平面
平面
,底面
为梯形,
,
,且
,
,
.
(I)求证:;
(II)求二面角_____的余弦值;
从①,②
,③
这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
(III)若是棱
的中点,求证:对于棱
上任意一点
,
与
都不平行.
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【题目】在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期,我市教育局提出“停课不停学”的口号,鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系,对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷,其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人,余下的人中,在检测考试中数学平均成绩不足120分的占,统计成绩后得到如下
列联表:
分数不少于120分 | 分数不足120分 | 合计 | |
线上学习时间不少于5小时 | 4 | 19 | |
线上学习时间不足5小时 | |||
合计 | 45 |
(1)请完成上面列联表;并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”;
(2)①按照分层抽样的方法,在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生,设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是,求
的分布列(概率用组合数算式表示);
②若将频率视为概率,从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人,求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.
(下面的临界值表供参考)
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式其中
)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数,
为f(x)的导函数.
(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;
(2)若a≠b,b=c,且f(x)和的零点均在集合
中,求f(x)的极小值;
(3)若,且f(x)的极大值为M,求证:M≤
.
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