【题目】设函数,
为f(x)的导函数.
(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;
(2)若a≠b,b=c,且f(x)和的零点均在集合
中,求f(x)的极小值;
(3)若,且f(x)的极大值为M,求证:M≤
.
【答案】(1);
(2)见解析;
(3)见解析.
【解析】
(1)由题意得到关于a的方程,解方程即可确定a的值;
(2)由题意首先确定a,b,c的值从而确定函数的解析式,然后求解其导函数,由导函数即可确定函数的极小值.
(3)由题意首先确定函数的极大值M的表达式,然后可用如下方法证明题中的不等式:
解法一:由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式;
解法二:由题意构造函数,求得函数在定义域内的最大值,
因为,所以
.
当时,
.
令,则
.
令,得
.列表如下:
+ | 0 | – | |
极大值 |
所以当时,
取得极大值,且是最大值,故
.
所以当时,
,因此
.
(1)因为,所以
.
因为,所以
,解得
.
(2)因为,
所以,
从而.令
,得
或
.
因为,都在集合
中,且
,
所以.
此时,
.
令,得
或
.列表如下:
1 | |||||
+ | 0 | – | 0 | + | |
极大值 | 极小值 |
所以的极小值为
.
(3)因为,所以
,
.
因为,所以
,
则有2个不同的零点,设为
.
由,得
.
列表如下:
| |||||
+ | 0 | – | 0 | + | |
极大值 | 极小值 |
所以的极大值
.
解法一:
.因此
.
解法二:
因为,所以
.
当时,
.
令,则
.
令,得
.列表如下:
+ | 0 | – | |
极大值 |
所以当时,
取得极大值,且是最大值,故
.
所以当时,
,因此
.
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【题目】设是函数
定义域内的一个子集,若存在
,使得
成立,则称
是
的一个“不动点”,也称
在区间
上存在不动点.
设函数,
.
(1)若,求函数
的不动点;
(2)若函数在
上不存在不动点,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】当x∈[0,1]时,下列关于函数y=的图象与
的图象交点个数说法正确的是( )
A. 当时,有两个交点B. 当
时,没有交点
C. 当时,有且只有一个交点D. 当
时,有两个交点
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【题目】三棱锥P ABC中,PA⊥平面ABC,Q是BC边上的一个动点,且直线PQ与面ABC所成角的最大值为
则该三棱锥外接球的表面积为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】如图所示,已知椭圆:(
)的离心率为
,右准线方程是直线l:
,点P为直线l上的一个动点,过点P作椭圆的两条切线
,切点分别为AB(点A在x轴上方,点B在x轴下方).
(1)求椭圆的标准方程;
(2)①求证:分别以为直径的两圆都恒过定点C;
②若,求直线
的方程.
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