Question

【题目】设是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点．

设函数，．

（1）若，求函数的不动点；

（2）若函数在上不存在不动点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）

【解析】

（1）根据新定义，当时，，求出，即可得出函数的不动点；

（2）由于函数在上不存在不动点，则在区间上无解，即在上无解，利用换元法，令，，转化为在区间上无解，构造新函数并求出单调区间，结合函数的恒成立问题，即可求出实数的取值范围．

解：（1）根据题目给出的“不动点”的定义，可知：

当时，，

得，所以，所以，

所以函数的不动点为0．

（2）根据已知，得在区间上无解，

所以在上无解，

令，，所以，

即在区间上无解，

所以在区间上无解，

设，所以在区间上单调递增，

故，

所以或，所以或，

又因为在区间上恒成立，

所以在区间上恒成立，

设，所以在区间上单调递增，

故，所以，所以．

综上，实数的取值范围是．